题目内容
（2012•湖南模拟）已知向量
=(2cos2x，
)，
=(1，sin2x)，函数f(x)=
•
．
（1）求函数f（x）的对称中心；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f(C)=3，c=1，ab=2
，且a＞b，求a，b的值．
| m |
| 3 |
| n |
| m |
| n |
（1）求函数f（x）的对称中心；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f(C)=3，c=1，ab=2
| 3 |
分析：（1）通过向量的数量积以及二倍角的余弦函数，两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，利用正弦函数的对称性求函数f（x）的对称中心；
（2）通过f(C)=3，c=1，ab=2
，求出C的大小，以及余弦定理求出a，b的值．
（2）通过f(C)=3，c=1，ab=2
| 3 |
解答：解：（1）f(x)=
•
=(2cos2x，
)•(1，sin2x)=2cos2x+
sin2x，
=cos2x+1+
sin2x=2sin(2x+
)+1．…（4分）
令2x+
=kπ得，x=
-
(k∈Z)，
∴函数f（x）的对称中心为(
-
，1)．…（6分）
（2）f(C)=2sin(2C+
)+1=3 ∴sin(2C+
)=1，
∵C是三角形内角，∴2C+
=
即：C=
…（8分）
∴cosC=
=
即：a2+b2=7．
将ab=2
代入可得：a2+
=7，解之得：a2=3或4，…（10分）
∵a＞b，∴a=2，b=
．…（12分）
∴a=
或2，∴b=2或
．
| m |
| n |
| 3 |
| 3 |
=cos2x+1+
| 3 |
| π |
| 6 |
令2x+
| π |
| 6 |
| kπ |
| 2 |
| π |
| 12 |
∴函数f（x）的对称中心为(
| kπ |
| 2 |
| π |
| 12 |
（2）f(C)=2sin(2C+
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
∵C是三角形内角，∴2C+
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
∴cosC=
| b2+a2-c2 |
| 2ab |
| ||
| 2 |
将ab=2
| 3 |
| 12 |
| a2 |
∵a＞b，∴a=2，b=
| 3 |
∴a=
| 3 |
| 3 |
点评：本题考查向量的数量积的应用，余弦定理以及两角和的正弦函数与二倍角公式的应用，考查计算能力．
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