Question

（本小题满分14分）已知圆，直线，直线与圆交于两点，点的坐标为，且满足．

（1）当时，求的值；

（2）当时，求的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）1；（Ⅱ）．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）当b=1时，点M（0，b）在圆C上，当且仅当直线l经过圆心C时，满足MP⊥MQ．把圆心坐标（1，1）代入直线，可得k的值．

（Ⅱ）把直线的方程代入圆的方程转化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系以及，求得．令，则

在区间上单调递增，求得，可得 ，解此不等式求得k的取值范围（注意检验△＞0）．

试题解析：（Ⅰ）圆，当b=1时，点M（0，b）在圆C上，

当且仅当直线l经过圆心C时，满足MP⊥MQ．

∵圆心C的坐标为（1，1），∴k=1．

（Ⅱ）由 ，消去y得： ①

设，

∴，．

∵MP⊥MQ，∴．

∴，即．

∵，

∴，即．

∴，即．

令，则在区间上单调递增．

∴当时，．

∴．

即，解得，

∴或．

由①式得，解得k＞0．

∴或．

∴k的取值范围是．

考点：直线和圆相交的性质；一元二次方程根与系数的关系；函数的单调性．