Question

15．如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆$Γ：\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{b^2}=1（{0＜b＜2}）$和圆O：x²+y²=4，A为椭圆Γ的左顶点，B，C分别为椭圆Γ，圆O在轴上方的点，且$\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$．．
（1）若$|{\overrightarrow{AC}}|=\frac{{8\sqrt{5}}}{5}$，求b的值；
（2）求椭圆Γ的离心率的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可知求得丨$\overrightarrow{AB}$丨，则求得直线AB倾斜角的余弦值，即可求得B点坐标，代入椭圆方程，即可求得坐标；
（2）设B点坐标根据向量的坐标运算求得C点坐标，代入圆的方程，即可求得b，根据x0的取值范围，即可求得b取值范围，利用椭圆的离心率即可求得离心率的取值范围．

解答 解：（1）由椭圆$Γ：\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{b^2}=1（{0＜b＜2}）$，则A（-2，0），适合圆O：x²+y²=4，
又C在圆O上，$|{\overrightarrow{AC}}|=\frac{{8\sqrt{5}}}{5}$，$\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$，
∴丨$\overrightarrow{AB}$丨=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
设直线AB的倾斜角为θ，则cosθ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴点B的横坐标为：2-丨$\overrightarrow{AB}$丨cosθ=2-$\frac{4\sqrt{5}}{5}$×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=-$\frac{2}{5}$，纵坐标为：$\sqrt{（\frac{4\sqrt{5}}{5}）^{2}-（\frac{8}{5}）^{2}}$=$\frac{4}{5}$，
则B（-$\frac{2}{5}$，$\frac{4}{5}$），
代入椭圆方程，解得：b=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴b的值$\frac{\sqrt{6}}{3}$；
（2）设B（x₀，y₀），且$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}+\frac{{y}_{0}^{2}}{{b}^{2}}=1$，即b²x₀²+4y₀²=4b²，
由$\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$及A（-2，0）可知：C（2x₀+2，2y₀），
代入圆O：x²+y²=4，得（2x₀+2）²+（2y₀）²=4，
解得：b²=$\frac{4{x}_{0}}{{x}_{0}-2}$＞0，其中x₀∈（-2，2），
∴x₀∈（-2，0），则b²=$\frac{4}{1-\frac{2}{{x}_{0}}}$＜2，
∴椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{4}}$＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$，又0＜e＜1，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜e＜1，
∴椭圆的离心率的取值范围（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）．

点评 本题考查椭圆的标准方程的求法，向量的坐标运算，考查椭圆的简单几何性质，考查计算能力，属于中档题．