题目内容

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₁₉＞0，S₂₀＜0，且 $数学公式$ ，则在数列{b_n}的前19项中，最大的项是第________项．

10
分析：由等差数列的前n项和的公式分别表示出S₁₉＞0，S₂₀＜0，然后再分别利用等差数列的性质得到a₁₀大于0且a₁₁小于0，得到此数列为递减数列，前10项为正，11项及11项以后为负，由已知的不等式得到数列的前1项和，前2项的和，…，前19项的和为正，前20项的和，前21项的和，…，的和为负，所以得到b₁₁及以后的各项都为负，即可得到b₁₀为最大项，即可得到n的值．
解答：由S₁₉= $\text{[math]}$ =19a₁₀＞0，得到a₁₀＞0；由S₂₀= $\text{[math]}$ =10（a₁₀+a₁₁）＜0，得到a₁₁＜0，
∴等差数列{a_n}为递减数列．
则a₁，a₂，…，a₁₀为正，a₁₁，a₁₂，…为负；S₁，S₂，…，S₁₉为正，S₂₀，S₂₁，…为负，
则 $\text{[math]}$ ＜0， $\text{[math]}$ ＜0，…， $\text{[math]}$ ＜0，
又S₁₀＞S₁＞0，a₁＞a₁₀＞0，得到 $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ ＞0，故b₁₀= $\text{[math]}$ 最大．
故答案为：10．
点评：此题考查学生灵活运用等差数列的前n项和的公式化简求值，掌握等差数列的性质，是一道综合题．