函数y＝x+(x＞0)的单调区间和最值是什么?推广到y＝x+(a＞0.x＞0)呢? 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

函数y＝x＋(x＞0)的单调区间和最值是什么？推广到y＝x＋(a＞0，x＞0)呢？

答案：
解析：

y＝x＋(x＞0)在(0，1上递减，在［1，＋∞上递增．因此当x＝1时有最小值2，没有最大值．函数y＝x＋在(0，上递减，在［，＋∞上递增，当x＝时有最小值为2．

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（09年临沂高新区实验中学质检）（12分）

函数y＝f（x）是定义域为R的奇函数，且对任意的x∈R,均有f（x＋4）＝f（x）成立，当x∈（0,2）时，f（x）＝－x²＋2x＋1．

（1）当x∈[4k－2,4k＋2]（k∈Z）时，求函数f（x）的表达式；

（2）求不等式f（x）>的解集．

函数y＝f(x)的图象与函数g(x)＝log₂x(x＞0)的图象关于原点对称，则f(x)的表达式为(　　)

A．f(x)＝(x＞0)　　 B．f(x)＝log₂(－x)(x＜0)

C．f(x)＝－log₂x(x＞0) D．f(x)＝－log₂(－x)(x＜0)

函数y＝f(x)的图像与函数g(x)＝log₂x(x＞0)的图像关于原点对称，则f(x)的表达式为

（）

A．f(x)＝(x＞0) B．f(x)＝log₂(－x)(x＜0＝

C．f(x)＝－log₂x(x＞0) D．f(x)＝－log₂(－x)(x＜0＝

已知函数f(x)＝ax³＋bx²＋cx在x＝±1处取得极值，且在x＝0处的切线的斜率为－3.

(1)求f(x)的解析式；

(2)若过点A(2，m)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．

【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。第一问，利用函数f(x)＝ax³＋bx²＋cx在x＝±1处取得极值，且在x＝0处的切线的斜率为－3，得到c＝－3　∴a＝1, f(x)＝x³－3x

(2)中设切点为(x₀，x₀³－3x₀)，因为过点A(2，m)，所以∴m－(x₀³－3x₀)＝(3x₀²－3)(2－x₀)分离参数∴m＝－2x₀³＋6x₀²－6

然后利用g(x)＝－2x³＋6x²－6函数求导数，判定单调性，从而得到要是有三解，则需要满足－6<m<2

解：(1)f′(x)＝3ax²＋2bx＋c

依题意

又f′(0)＝－3

∴c＝－3　∴a＝1　∴f(x)＝x³－3x

(2)设切点为(x₀，x₀³－3x₀)，

∵f′(x)＝3x²－3，∴f′(x₀)＝3x₀²－3

∴切线方程为y－(x₀³－3x₀)＝(3x₀²－3)(x－x₀)

又切线过点A(2，m)

∴m－(x₀³－3x₀)＝(3x₀²－3)(2－x₀)

∴m＝－2x₀³＋6x₀²－6

令g(x)＝－2x³＋6x²－6

则g′(x)＝－6x²＋12x＝－6x(x－2)

由g′(x)＝0得x＝0或x＝2

∴g(x)在(－∞，0)单调递减，(0,2)单调递增，(2，＋∞)单调递减．

∴g(x)_极小值＝g(0)＝－6，g(x)_极大值＝g(2)＝2

画出草图知，当－6<m<2时，m＝－2x³＋6x²－6有三解，

所以m的取值范围是(－6,2)．

函数y＝f(x)的图像与函数g(x)＝log₂x(x＞0)的图像关于原点对称，则f(x)的表达式为

（）

A．f(x)＝(x＞0) B．f(x)＝log₂(－x)(x＜0＝

C．f(x)＝－log₂x(x＞0) D．f(x)＝－log₂(－x)(x＜0＝