Question

（09年临沂高新区实验中学质检）（12分）

       函数y＝f（x）是定义域为R的奇函数，且对任意的x∈R,均有f（x＋4）＝f（x）成立，当x∈（0,2）时，f（x）＝－x²＋2x＋1．

       （1）当x∈[4k－2,4k＋2]（k∈Z）时，求函数f（x）的表达式；

       （2）求不等式f（x）>的解集．

Answer 1

解析：（1）当x＝0时，∵f（0）＝－f（0）,∴f（0）＝0．                    1分

当x∈[－2,0]时，－x∈（0,2）,

f（x）＝－f（－x）＝－（x2－2x＋1）＝x2＋2x－1．                      3分

由f（x＋4）＝f（x）,知f（x）为周期函数，且周期T＝4．      4分

当x∈[4k－2,4k]（k∈Z）时，x－4k∈[－2,0],

∴f（x）＝f（x－4k）＝（x－4k）²＋2（x－4k）－1．                           5分

当x∈（4k,4k＋2）（k∈Z）时，x－4k∈（0,2）,

∴f（x）∈f（x－4k）＝－（x－4k）²＋2（x－4k）＋1．                 6分

故当x∈[4k－2,4k＋2]（k∈Z）时，f（x）的表达式为

f（x）＝                             7分

（2）当x∈［－2，2］时，由f（x）>得或

解得1－                                                                      10分

∵f（x）是以4为周期的周期函数，

∴f（x）>的解集为|x|4k＋1－|．                           12分