题目内容
已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是
，
，离心率是
，直线y=t椭圆C交与不同的两点M，N，以线段为直径作圆P，圆心为P．（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；
（Ⅲ）设Q（x，y）是圆P上的动点，当T变化时，求y的最大值．
【答案】分析：（Ⅰ）先根据离心率和焦半径求得a，进而根据a，b和c的关系求得c，则椭圆方程可得．
（Ⅱ）根据题意可知P的坐标，根据圆P与x轴相切求得x，则圆的半径的表达式可得，进而求得t，则点P的坐标可得．
（Ⅲ）由（2）知圆P的方程，把点Q代入圆的方程，求得y和t的关系，设t=cosθ，利用两角和公式化简整理根据正弦函数的性质求得y的最大值．
解答：解：（Ⅰ）因为
，且
，所以
所以椭圆C的方程为
（Ⅱ）由题意知p（0，t）（-1＜t＜1）
由
得
所以圆P的半径为
解得
所以点P的坐标是（0，
）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，圆P的方程x2+（y-t）2=3（1-t2）．因为点Q（x，y）在圆P上．所以
设t=cosθ，θ∈（0，π），则
当
，即
，且x=0，y取最大值2．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．
（Ⅱ）根据题意可知P的坐标，根据圆P与x轴相切求得x，则圆的半径的表达式可得，进而求得t，则点P的坐标可得．
（Ⅲ）由（2）知圆P的方程，把点Q代入圆的方程，求得y和t的关系，设t=cosθ，利用两角和公式化简整理根据正弦函数的性质求得y的最大值．
解答：解：（Ⅰ）因为
，且，所以所以椭圆C的方程为
（Ⅱ）由题意知p（0，t）（-1＜t＜1）
由
得所以圆P的半径为
解得
所以点P的坐标是（0，）（Ⅲ）由（Ⅱ）知，圆P的方程x2+（y-t）2=3（1-t2）．因为点Q（x，y）在圆P上．所以
设t=cosθ，θ∈（0，π），则
当
，即，且x=0，y取最大值2．点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．
练习册系列答案
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如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C：
的离心率e＝
，左右两个焦分别为F1、F2．过右焦点F2且与x轴垂直的直线与椭圆C相交M、N两点，且|MN|＝1．
，(
)试求点P的轨迹方程，使点B关于该轨迹的对称点落在椭圆C上.
+
=1（a＞b＞0）的离心率e=
，左右两个焦分别为F1、F2．过右焦点F2且与轴垂直的
=m-4，（m∈R）试求点P的轨迹方程，使点B关于该轨迹的对称点落在椭圆C上．
+
=1（a＞b＞0）的离心率e=
，左右两个焦分别为F1、F2．过右焦点F2且与轴垂直的
=m-4，（m∈R）试求点P的轨迹方程，使点B关于该轨迹的对称点落在椭圆C上．