Question

1．已知F₁，F₂分别是双曲线3x²-y²=3a²（a＞0）的左，右焦点，P是抛物线y²=8ax与双曲线的一个交点，若|PF₁|+|PF₂|=12，则抛物线的准线方程为x=-2．

Answer 1

分析 设P（m，n），且P在第一象限，求得双曲线的a，b，c，运用双曲线的定义可得|PF₂|=6-a，求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义，可得m=6-3a，求得n，代入双曲线的方程，解方程可得a=1，进而得到准线方程．

解答 解：设P（m，n），且P在第一象限，
双曲线3x²-y²=3a²（a＞0）即为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{3{a}^{2}}$=1，
可得b=$\sqrt{3}$a，c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=2a，
由双曲线的定义可得|PF₁|-|PF₂|=2a，
又|PF₁|+|PF₂|=12，可得
|PF₂|=6-a，
由抛物线y²=8ax可得焦点为（2a，0），准线方程为x=-2a，
由抛物线的定义可得6-a=m+2a，
解得m=6-3a，n²=8a（6-3a），
代入双曲线的方程可得
$\frac{（6-3a）^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{8a（6-3a）}{3{a}^{2}}$=1，
解得a=1或$\frac{9}{4}$（舍去），
则准线的方程为x=-2．
故答案为：x=-2．

点评 本题考查双曲线和抛物线的定义、方程和性质，考查点满足曲线方程，以及化简整理的运算能力，属于中档题．