Question

已知数列{a_n}，S_n是其n前项的和，且满足3a_n=2S_n+n（n∈N^*）
（1）求证：数列{a_n+

1

2

}为等比数列；
（2）记T_n=S₁+S₂+L+S_n，求T_n的表达式；
（3）记C_n=

2

3

（a_n+

1

2

），求数列{nC_n}的前n项和P_n．

Answer 1

分析：（1）由3a_n=2S_n+n知，当n≥2时，3a_n-1=2S_n-1+n-1，作差后可知a_n=3a_n-1+1，于是易证数列{a_n+

1

2

}是首项为

3

2

，公比为3的为等比数列；
（2）由（1）知a_n=

1

2

×3ⁿ-

1

2

，利用分组求和法即可求得T_n的表达式；
（3）由（2）易知C_n=3^n-1，利用错位相减法即可求得数列{nC_n}的前n项和P_n．

解答：解：（1）∵3a_n=2S_n+n，
∴a₁=1，
当n≥2时，3（a_n-a_n-1）=2a_n+1，即a_n=3a_n-1+1，
∴a_n+

1

2

=3a_n-1+1+

1

2

=3（a_n-1+

1

2

），
∴数列{a_n+

1

2

}是首项为

3

2

，公比为3的为等比数列；
（2）由（1）知，a_n+

1

2

=

3

2

•3^n-1，
∴a_n=

1

2

×3ⁿ-

1

2

，
∴S_n=a₁+a₂+…+a_n
=

1

2

•

3(1-3n)

1-3

-

n

2

=

3

4

•3ⁿ-

1

4

（2n+3），
∴T_n=S₁+S₂+…+S_n
=

3

4

（3+3²+…+3ⁿ）-

1

4

×

(5+2n+3)n

2

=

3

4

•

3(1-3n)

1-3

-

n(n+4)

4

=

9

8

（3ⁿ-1）-

n(n+4)

4

．
（3）∵C_n=

2

3

（a_n+

1

2

）=

2

3

×

1

2

×3ⁿ=3^n-1，
∴P_n=1×3⁰+2×3+3×3²+…+n•3^n-1，
∴3P_n=1×3+2×3²+…+（n-1）•3^n-1+n•3ⁿ，
两式相减得：
-2P_n=1+3+3²+…+3^n-1-n•3ⁿ
=

1-3n

1-3

-n•3ⁿ
=

1-2n

2

×3ⁿ-

1

2

，
∴P_n=

1+(2n-1)•3n

4

．

点评：本题考查数列的求和，着重考查等比关系的确定，突出考查等比数列的求和公式与错位相减法、分组求和法的综合应用，属于难题．