题目内容

函数f（x）=（a+cosx）（a+sinx）（其中a≥0）的最大值g（a）=________．

a²+ $\text{[math]}$ a+ $\text{[math]}$
分析：把函数解析式利用多项式的乘法法则去括号后，设sinx+cosx=t，根据同角三角函数间的基本关系用t表示出sinxcosx，把函数解析式化为g（t）关于t的二次函数，根据t的范围，利用二次函数的性质，即可得到最大值g（a）的关系式．
解答：f（x）=（a+cosx）（a+sinx）
=a²+sinxcosx+a（sinx+cosx）
设sinx+cosx=t，即 $\text{[math]}$ sin（x+ $\text{[math]}$ ）=t，
∴t∈[- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]，
∵（sinx+cosx）²=1+2sinxcosx，
则有sinxcosx= $\text{[math]}$ ，
g（t）=a²+ $\text{[math]}$ +at= $\text{[math]}$ t²+at+a²- $\text{[math]}$ ，
由g（t）为关于t的二次函数，其对称轴为x=-a，
此时函数的最大值g（a）=g（ $\text{[math]}$ ）=a²+ $\text{[math]}$ a+ $\text{[math]}$ ．
故答案为：a²+ $\text{[math]}$ a+ $\text{[math]}$
点评：此题考查了同角三角间的基本关系，二次函数的性质，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的定义域及值域，利用换元的思想，把此题转化为求函数g（t）的最大值问题，从而根据二次函数的性质来解决．