Question

如图1-1-5，已知A、B、C是直线m上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O′切直线m于点A，又过B、C作⊙O′异于m的两切线，切点分别为D、E，设两切线交于点P.

图1-1-5

（1）求点P的轨迹方程;

（2）经过点C的直线l与点P的轨迹交于M、N两点，且点C分所成比等于2∶3，求直线l的方程.

Answer 1

思路分析：先根据圆切线的定义,可得到点P的轨迹是椭圆,然后建立适当的坐标系求出点P的轨迹方程；根据定比分点坐标公式,找出相关点的坐标,列出方程组求点M、N的坐标,从而求出直线方程.

解：（1）∵|PE|=|PD|,|BD|=|BA|,|CE|=|CA|,

∴|PB|+|PC|=|PD|+|DB|+|CE|-|PE|=|BD|+|CE|=|AB|+|CA|=18＞6=|BC|.

∴P点轨迹是以B、C为焦点,长轴长等于18的椭圆.

以B、C两点所在直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,则可设椭圆的方程是=1(a＞b＞0).

∵a=9,c=3,∴b²=72.

∴P点的轨迹方程是=1(y≠0).

（2）设M(x₁,y₁)、N(x₂,y₂),

∵C(3,0)分MN所成的比为,

∴∴=1.

∴①

又=1,②

由①②消去y₂,得=1.

解得x₂=-3,y₂=±8,即N(-3,±8).

∴由C、N可得直线的方程是4x+3y-12=0或4x-3y-12=0.