Question

中心在原点O，焦点F₁、F₂在x轴上的椭圆E经过C（2，2），且．
（1）求椭圆E的方程．
（2）垂直于OC的直线l与椭圆E交于A、B两点，当以AB为直径的圆P与y轴相切时，求直线l的方程和圆P的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）设F₁（-c，0），F₂（c，0），则，由，知4-c²+4=2，即c²=6．由此能求出椭圆E的方程．
（2）依题意，直线OC斜率为1，由此设直线l的方程为y=-x+m，由，得3x²-4mx+2m²-12=0，记A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则，，圆P的圆心为（），半径r==，当圆P与y轴相切时，r=||，由此能求出直线l的方程和圆P的方程．
解答：解：（1）设F₁（-c，0），F₂（c，0），则，
∵，∴4-c²+4=2，
∴c²=6．
设椭圆E的方程为，
把C（2，2）代入，得，
整理，得a⁴-14a²+24=0，
解得a²=12，或a²=2（舍）
∴椭圆E的方程为．
（2）依题意，直线OC斜率为1，由此设直线l的方程为y=-x+m，
由，得3x²-4mx+2m²-12=0，
由△=16m²-12（2m²-12）=8（18-m²）＞0，
得m²＜18．
记A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则，，
圆P的圆心为（），
半径r==，
当圆P与y轴相切时，r=||，
则，
即，解得m²=9＜18，
当m=3时，直线l方程为y=-x+3，
此时，x₁+x₂=4，圆心为（2，1），半径为2，
圆P的方程为（x-2）²+（y-1）²=4，
同理，当m=-3时，直线l方程为y=-x-3，
圆P的方程为（x+2）²+（y+1）²=4．
点评：本题考查直线方程、圆的方程和椭圆方程的求法，具体涉及到直线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆和圆的简单性质等基本知识．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．