Question

已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆E过点（0，1），离心率为

2

2

．
（I）求椭圆E的方程；
（II）若直线l过椭圆E的左焦点F，且与椭圆E交于A、B两点，若△OAB的面积为

2

3

，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（I）设椭圆E的方程，利用椭圆E过点（0，1），离心率为

2

2

，建立方程组，即可求椭圆E的方程；
（II）分类讨论，再将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及S_△OAB=

1

2

|OF||y₁-y₂|=

1

2

|y₁-y₂|=

2

3

，即可求直线l的方程．

解答：解：（I）设椭圆E的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，则
∵椭圆E过点（0，1），离心率为

2

2

，
∴

b=1 c a = 2 2 a2=b2+c2

，∴a²=2，b²=1
∴椭圆E的方程为

x2

2

+y2=1；
（II）（1）l⊥x轴时，A（-1，-

2

2

），B（-1，

2

2

），|AB|=

2

∴△OAB的面积为

1

2

×

2

×1=

2

2

，不满足题意；
（2）l与x轴不垂直时，设方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，可得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-

4k2

1+2k2

，x₁x₂=

2k2-2

1+2k2

∴|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

4k2 (1+2k2)2 + 4k2 1+2k2

∵S_△OAB=

1

2

|OF||y₁-y₂|=

1

2

|y₁-y₂|=

2

3

∴|y₁-y₂|=

4

3

∴

4k2 (1+2k2)2 + 4k2 1+2k2

=

4

3

∴k⁴+k²-2=0
∴k=±1
∴直线l的方程为x-y+1=0或x+y+1=0．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．