Question

在直角坐标系xOy中，中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆C上的点（2

2

，1）到两焦点的距离之和为4

3

．
（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点F作直线l与椭圆C分别交于A、B两点，其中点A在x轴下方，且

AF

=3

FB

．求过O、A、B三点的圆的方程．

Answer 1

分析：（1）由椭圆的定义得2a=4

3

，从而求出a的值，然后将点（2

2

，1）代入椭圆的标准方程，求出b，从而求出椭圆的方程；
（2）分别设出A、B的坐标，利用

AF

=3

FB

得到A、B坐标之间的关系，然后将A、B的坐标代入椭圆的方程，通过解方程即可求得A、B的坐标，最后设出所求圆的方程，将O、A、B的坐标代入，解方程即可．

解答：解：（1）由题意，设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），则2a=4

3

，a=2

3

．
∵点（2

2

，1）在椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1上，
∴

8

12

+

1

b2

=1，解得b=

3

，
∴所求椭圆的方程为

x2

12

+

y2

3

=1．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（y₁＜0，y₂＞0），点F的坐标为F（3，0），
由

AF

=3

FB

，得3-x₁=3（x₂-3），-y₁=3y₂，即x₁=-3x₂+12，y₁=-3y₂①．
又A、B在椭圆C上，
∴

(-3x2+12)2

12

+

(-3y2)2

3

=1，

x22

12

+

y22

3

=1，
解得x₂=

10

3

，y₂=

2

3

，
∴B（

10

3

，

2

3

），代入①得A（2，-

2

）．
设过O、A、B三点的圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
则将O、A、B三点的坐标代入得
F=0，6+2D-

2

E+F=0，

102

9

+

10

3

D+

2

3

E+F=0，
解得D=-

10

3

，E=-

2

3

，F=0，
故过O、A、B三点的圆的方程为x²+y²-

10

3

x-

2

3

y=0．

点评：本题考查椭圆的性质及其应用、向量及圆的方程的综合应用，解题时要认真审题，注意运用方程思想、转化思想、待定系数、数形结合等数学思想方法，同时考查了学生的基本运算能力与运算技巧，难度中等．