题目内容
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=5，S14=196，n∈N*
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=2n•an=2a，求数列{bn}的前n项和Tn．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=2n•an=2a，求数列{bn}的前n项和Tn．
考点：数列的求和,等差数列的性质
专题：等差数列与等比数列
分析：（Ⅰ）S14=
=7（a3+a12）=196，解得a12=23，d=
=
=2，由此能求出an．
（Ⅱ）由bn=2nan=（2n-1）•2n，利用错位相减法能求出数列{bn}的前n项和Tn．
| 14(a1+a14) |
| 2 |
| a12-a3 |
| 12-3 |
| 23-5 |
| 9 |
（Ⅱ）由bn=2nan=（2n-1）•2n，利用错位相减法能求出数列{bn}的前n项和Tn．
解答：
解：（Ⅰ）∵等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=5，S14=196，
∴S14=
=7（a3+a12）=196，
解得a12=23，
∴d=
=
=2，
∴an=a3+（n-3）d=5+（n-3）×2=2n-1．
（Ⅱ）∵bn=2nan=（2n-1）•2n，
∴Tn=1•2+3•22+…+(2n-1)•2n，①
2Tn=1•22+3•23+…+（2n-1）•2n+1，②
①-②，得：-Tn=2+（23+24+…+2n+1）-（2n-1）•2n+1
=（2+22+23+24+…+2n+1）-4-（2n-1）•2n+1
=（2n-2-2）-4-（2n-1）•2n+1
=-（2n-3）•2n+1-6，
∴Tn=（2n-3）•2n+1+6，n∈N*．
∴S14=
| 14(a1+a14) |
| 2 |
解得a12=23，
∴d=
| a12-a3 |
| 12-3 |
| 23-5 |
| 9 |
∴an=a3+（n-3）d=5+（n-3）×2=2n-1．
（Ⅱ）∵bn=2nan=（2n-1）•2n，
∴Tn=1•2+3•22+…+(2n-1)•2n，①
2Tn=1•22+3•23+…+（2n-1）•2n+1，②
①-②，得：-Tn=2+（23+24+…+2n+1）-（2n-1）•2n+1
=（2+22+23+24+…+2n+1）-4-（2n-1）•2n+1
=（2n-2-2）-4-（2n-1）•2n+1
=-（2n-3）•2n+1-6，
∴Tn=（2n-3）•2n+1+6，n∈N*．
点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．
练习册系列答案
应用题作业本系列答案
相关题目
