Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，O是底ABCD对角线的交点．求证：
（1）C₁O∥面A₁B₁D₁；
（2）A₁C⊥面AB₁D₁；
（3）求直线AC与平面AB₁D₁所成角的正切值．

Answer 1

分析：（1）连接A₁C₁，根据正方体的几何特征，我们可以得到O₁C₁OA是平行四边形，即C₁O∥AO₁，结合线面平行的判定定理，即可得到C₁O∥面A₁B₁D₁；
（2）由正方体的几何特征，我们可根据CC₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，得到B₁D₁⊥A₁C，同理可证AB₁⊥A₁C，进而根据线面垂直的判定定理得到A₁C⊥面AB₁D₁；
（3）直线AC与平面AB₁D₁所成的角实际上就是正四面体ACB₁D₁的一条棱与一个面所成的角，结合正四面体的几何特征，易求出直线AC与平面AB₁D₁所成角的正切值．

解答：证明：（1）连接A₁C₁，设A₁C₁∩B₁D₁=O₁，
连接AO₁，∵ABCD-A₁B₁C₁D是正方体
∴A₁ACC₁是平行四边形
∴A₁C₁∥AC且A₁C₁=AC（2分）
又∵O₁，O分别是A₁C₁，AC的中点，
∴O₁C₁∥AO且O₁C₁=AO
∴O₁C₁OA是平行四边形
∴C₁O∥AO₁，AO₁?平面A₁B₁D₁，C₁O?平面A₁B₁D₁，
∴C₁O∥面A₁B₁D₁；

（2）∵CC₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，
∴CC₁⊥B₁D₁，
又∵A₁C₁⊥B₁D₁，
∴B₁D₁⊥平面A₁C₁C
即B₁D₁⊥A₁C，
同理可证AB₁⊥A₁C，
又B₁D₁∩AB₁=B₁，
∴A₁C⊥面AB₁D₁；
（3）直线AC与平面AB₁D₁所成的角实际上
就是正四面体ACB₁D₁的一条棱与一个面所成的角，
余弦值为

3

3

，从而正切值为

2

．（13分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，其中（1）的关键是得到C₁O∥AO₁，（2）的关键是利用正方体的几何特征得到B₁D₁⊥A₁C，且AB₁⊥A₁C，（3）的关键是分析出直线AC与平面AB₁D₁所成的角实际上就是正四面体ACB₁D₁的一条棱与一个面所成的角．