题目内容
已知n是正整数，函数F(x)=(1+x)2n的展开式的含xk的项的系数为ak(k=0,1,2,…,2n).（1）求证:an=(
)2+(
)2+…+(
)2+(
)2;
（2）求和：a1+
(1)证明：∵f(x)=(1+x)2n=(1+x)n·(1+x)n??
=(+x+…+xk+…+xn)·(
+
x+…+
xk+…+
xn),?
由题意知an是(1+x)2n展开式的含xn的项的系数，也即(
+
x+…+
xk+…+
xn)·(
+
x+…+
xk+…+
xn)展开式的含xn的项的系数，(
+
x+…+
xk+…+
xn)·(
+
x+…+
xk+…+
xn)的展开式的含xn的项的系数为
+
+…+
+…+
.?
根据组合数的性质
=Cn-kn,得
+
+…+
+…+
?
=(
)2+(
)2+…+(
)2+(
)2,?
从而an=(
)2+(
)2+…+(
)2+(
)2得证. ?
(2)解:∵f(x)=(1+x)2n=a0+a1x+a2x2+…+akxk+…+a2nx2n,??
∴f′(x)=2n(1+x)2n-1=a1+
令x=1,得?
a1+
令x=-1,得?
a1
把上述两式左右两边分别相加得?
a1+
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