Question

已知函数f（x）=a•b^x的图象过点A(1，

1

8

)和B(2，

1

2

)．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）记a_n=log₂f（n），n是正整数，S_n是数列{a_n}的前n项的和，求S₃₀．

Answer 1

分析：（Ⅰ）函数f（x）=a•b^x的图象过点A(1，

1

8

)和B(2，

1

2

)，则必有

ab= 1 8 ab2= 1 2

解出ab的值即可写出解析式；
（Ⅱ）由（1）知：an=log2f(n)=log2

4n

32

=log24n-log232=2n-5，可证{a_n}是等差数列，代入前n项和公式即得．

解答：解：（Ⅰ）∵函数f（x）=a•b^x的图象过点A(1，

1

8

)和B(2，

1

2

)．
∴可得

ab= 1 8 ab2= 1 2

（2分）  解得

a= 1 32 b=4

（4分）
∴f(x)=

4x

32

（5分）
（Ⅱ）由题意an=log2f(n)=log2

4n

32

=log24n-log232=2n-5，n∈N^*（7分）
因为an+1-an=2(n∈N*)故{a_n}是等差数列，且a₁=-3，（9分）
由Sn=

n(a1+an)

2

，得S30=

30(-3+2×30-5)

2

=780．
故答案为：780．（12分）

点评：本题为等差数列的求和问题，涉及指数函数，由函数构造数列并证明为等差数列是解决问题的关键，属中档题．