Question

（2008•杭州二模）已知奇函数f(x)=

qx+r

px2+1

有最大值

1

2

，且f(1)＞

2

5

，其中实数x＞0，p、q是正整数．．
（1）求f（x）的解析式；
（2）令an=

1

f(n)

，证明a_n+1＞a_n（n是正整数）．

Answer 1

分析：（1）由奇函数的定义知f（-x）+f（x）=0恒成立，求出r，利用基本不等式求出函数的最大值，以及且f(1)＞

2

5

，其中p、q是正整数，即得函数的解析式．
（2）根据（1），求出an=

1

f(n)

，作出，即可证明结论．

解答：解：（1）由奇函数f（-x）=-f（x）可得r=0，
x＞0时，由f(x)=

qx

px2+1

=

q

px+ 1 x

≤

q

2 p

=

1

2

①
以及f(1)=

q

p+1

＞

2

5

②
可得到2q²-5q+2＜0，

1

2

＜q＜2，只有q=1=p，
∴f(x)=

x

x2+1

；
（2）an=

1

f(n)

=

n2+1

n

=n+

1

n

，
则由an+1-an=(n+1+

1

n+1

)-(n+

1

n

)
=1-

1

n(n+1)

＞0（n是正整数），
可得所求证结论．

点评：本题是中档题．考查函数的奇偶性和函数的最值，以及待定系数法求函数的解析式，以一道不错的综合题，考查分析问题解决问题的能力和运算能力．