Question

1．设函数y=f（x）在区间（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在区间（a，b）上的导函数为f″（x）．若在（a，b）上，f″（x）＜0恒成立，则称函数f（x）在（a，b）上为“凸函数“．现给出如下命题：
①区间（a，b）上的凸函数f（x）在其图象上任意一点（x，f（x））处的切线的斜率随x的增大而减小；
②函数f（x）=lnx在任意正实数区间（a，b）上都是凸函数；
③若函数f（x），g（x）都是区间（a，b）上的凸函数，则函数y=f（x）g（x）也是区间（a，b）上的凸函数；
④若在区间（a，b）上f″（x）＜0恒成立，则对任意x₁，x₂∈（a，b）（x₁≠x₂）都有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＞$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$，其中正确命题的序号是①②④（写出所有正确命题的序号）

Answer 1

分析 根据函数的凹凸性的定义，函数的单调性判断①②④，举例判断③．

解答 解：①因为在区间（a，b）上，f''（x）＜0恒成立，
所以f'（x）在区间（a，b）单调减，所以结论成立，故①正确；
②f（x）=lnx，f'（x）=$\frac{1}{x}$，f″（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$＜0恒成立，
故在任意正实数区间（a，b）上都是凸函数，故②正确；
③举反例说明：如：函数f（x）=-x²，g（x）=-$\frac{1}{x}$在区间（0，1）都是凸函数，
但是f（x）•g（x）=x在区间（0，1）不是凸函数，③错误；
④若在区间（a，b）上f″（x）＜0恒成立，函数f（x）在（a，b）上为“凸函数“．
在其图象上任意一点（x，f（x））处的切线的斜率随x的增大而减小，
根据图象可知对任意x₁，x₂∈（a，b）（x₁≠x₂）都有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＞$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$，故④正确．
故答案为：①②④．

点评 本题考查了函数的单调性，导数的应用，“凸函数”的定义．