Question

【题目】设数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）设有正整数，使得成等差数列，求的值；

（3）设，对于给定的，求三个数经适当排序后能构成等差数列的充要条件．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）经适当排序后能构成等差数列的充要条件为

【解析】【试题分析】（1）依据题设条件建立方程组，运用等比数列的性质求出求出等比，求得通项公式；（2）依据题设成等差数列，建立方程，得到，也即．由此推知中有且只有一个等于1，借助正整数满足，从而推知，求出．

（3）按照题设要求将条件“经适当排序后能构成等差数列”分为三类进行分析推证：

解：（1）因为数列是各项均为正数的等比数列，所以设数列的公比为，且．

又，且，所以．

又因为，所以，解得，所以．

（2）因为成等差数列，所以，即．

所以， ．

故中有且只有一个等于1．

因为正整数满足，所以，得．

（3）设经适当排序后能构成等差数列．

①若，则，当且仅当，当且仅当．

因为正整数满足，当且仅当，且，

所以， ．当且仅当，即．

②若，则，所以（*）．

因为，

所以与都为偶数，而5是奇数，所以，等式（*）不成立，

从而等式不成立，

③若，则同②可知，该等式也不成立．

综合①②③，得．

设，则为，即．

调整顺序后易知成等差数列．

综上所述， 经适当排序后能构成等差数列的充要条件为．