Question

【题目】已知复数z的实部和虚部都是整数，
（1）若复数z为纯虚数，且|z﹣1|=|﹣1+i|，求复数z；
（2）若复数z满足z+ 是实数，且1＜z+ ≤6，求复数z．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵z为纯虚数，∴设z=ai（a∈R且a≠0），

又|﹣1+i|= ，由|z﹣1|=|﹣1+i|，

得 = ，解得a=±1，∴z=±i．

（2）解：设z=a+bi（a，b∈Z，且a2+b2≠0）．

则z+ =a+bi+ =a+bi+ =a+ +（b﹣ ）i．

由z+ 是实数，且1＜z+ ≤6，∴b﹣ =0，即b=0或a2+b2=10

又1＜a+ ≤6，（*）

当b=0时，（*）化为1＜a+ ≤6无解．

当a2+b2=10时，（*）化为1＜2a≤6，∴ ＜a≤3．

由a，b∈Z，知a=1，2，3．∴相应的b=±3，± （舍），±1．

因此，复数z为：1±3i或3±i

【解析】（1）复数z为纯虚数，设出复数z，化简|z﹣1|=|﹣1+i|，求出a，即可求复数z；（2）设z=a+bi，化简复数z+ ，利用复数是实数，且1＜z+ ≤6，求解a，b，即可求复数z．