Question

已知tanα=2，tanβ=

1

7

，α、β∈(0，

π

2

)．求：
（1）tan（2α+β）的值；
（2）2α+β的值．

Answer 1

分析：（1）（法一）依题意，可求得tan（α+β）=3，再利用两角和的正切tan（2α+β）=tan[α+（α+β）]求得tan（2α+β）的值；
（法二）可先求tan2α，再利用两角和的正切求tan（2α+β）的值；
（2）由α、β∈（0，

π

2

），可求得2α+β∈（0，

3π

2

），再结合（1）中tan（2α+β）=-1即可求得2α+β的值．

解答：解：（1）（法一）因为tanα=2，tanβ=

1

7

，
所以tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

2+ 1 7

1-2× 1 7

=3，…（3分）
则tan（2α+β）=tan[α+（α+β）]=

tanα+tan(α+β)

1-tanαtan(α+β)

=

2+3

1-2×3

=-1，
因此tan（2α+β）=-1．…（7分）
（法二）因为tanα=2，tanβ=

1

7

，
所以tan2α=

2tanα

1-tan2α

=

2×2

1-22

=-

4

3

，…（3分）
则tan（2α+β）=

tan2α+tanβ

1-tan2αtanβ

=

- 4 3 + 1 7

1-(- 4 3 )• 1 7

=-1．
因此tan（2α+β）=-1．…（7分）
（2）因为α、β∈（0，

π

2

），所以2α+β∈（0，

3π

2

），…（9分）
又由（1）知tan（2α+β）=-1，
所以2α+β=

3π

4

．…（10分）

点评：本题考查两角和与差的正切函数，考查二倍角的正切，掌握好公式是解决问题的关键，属于中档题．