题目内容

数列{b_n}的首项b₁=1，前n项和为S_n，点（n，S_n）、（4，10）都在二次函数y=ax²+bx的图象上，数列{a_n}满足 $数学公式$ =2ⁿ．
（Ⅰ）求证：数列{b_n}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令c_n=（ $数学公式$ ） $数学公式$ ，R_n= $数学公式$ + $数学公式$ + $数学公式$ +…+ $数学公式$ ．
试比较R_n与 $数学公式$ 的大小，并证明你的结论．

解：（Ⅰ）证明：∵b₁=1，∴S₁=1
∴点（1，1）、（4，10）都在二次函数y=ax²+bx的图象上
∴a+b=1，16a+4b=10，解得a= $\text{[math]}$ ，b= $\text{[math]}$ ．
∴S_n= $\text{[math]}$ n²+ $\text{[math]}$ n．则n≥2时，S_n-1= $\text{[math]}$ （n-1）²+ $\text{[math]}$ （n-1）．
∴b_n=S_n-S_n-1= $\text{[math]}$ n²+ $\text{[math]}$ n-[ $\text{[math]}$ （n-1）²+ $\text{[math]}$ （n-1）]=n（n≥2）．
又b₁=1也适合，所以b_n=n（n∈N₊）．则b_n-b_n-1=1．
∴数列{b_n}是首项为1，公差为1的等差数列．
又 $\text{[math]}$ =2ⁿ∴a_n= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
（Ⅱ）证明：∵c_n=（ $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴R_n= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ①．
∴ $\text{[math]}$ R_n= $\text{[math]}$ ，②
两式相减得 $\text{[math]}$ R_n= $\text{[math]}$
∴R_n=3- $\text{[math]}$ ，R_n- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
所以只需要比较2ⁿ与2n+1的大小即可．
当n=1时，2ⁿ＜2n+1，所以R_n＜ $\text{[math]}$ ，
当n=2时，2ⁿ＜2n+1，所以R_n＜ $\text{[math]}$ ，
当n≥3时，2ⁿ=（1+1）ⁿ=1+n++n+1＞2n+1，所以R_n＞ $\text{[math]}$ ．（12分）
分析：（Ⅰ）先由b₁=1得S₁=1，再利用点（1，1）、（4，10）都在二次函数y=ax²+bx的图象上求出a= $\text{[math]}$ ，b= $\text{[math]}$ ；再利用根据b_n和S_n的关系：b_n=S_n-S_n-1 （n≥2）求解数列b_n的通项公式即可证：数列{b_n}是等差数列，再代入满足 $\text{[math]}$ =2ⁿ．即可求出求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）先求出 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，再对其用错位相减法求和，得到R_n=3- $\text{[math]}$ ，让R_n与 $\text{[math]}$ 作差，整理后分类比较大小即可．
点评：本题考查了已知前n项和为S_n求数列{a_n}的通项公式，根据a_n和S_n的关系：a_n=S_n-S_n-1 （n≥2）求解数列的通项公式．另外，须注意公式成立的前提是n≥2，所以要验证n=1时通项是否成立，若成立则：a_n=S_n-S_n-1 （n≥1）；若不成立，则通项公式为分段函数．