Question

已知数列{x_n}满足，且T_2n=a₁+2a₂+3a₃+…+（2n-1）a_2n-1+2na_2n．
（Ⅰ）求x_n的表达式；
（Ⅱ）求T_2n；
（Ⅲ）若，试比较9T_2n与Q_n的大小，并说明理由

Answer 1

【答案】分析：（I）由∵，可用累加法求解；
（Ⅱ）由x_n求得a_n从而得到T_2n，观察其结构是一个等差数列与等比数列积的形式，可用错位相减法求解．（Ⅲ）由（Ⅱ）可得再与Q_n比较．
解答：解：（I）∵，
∴x_n=x₁+（x₂-x₁）+（x₃-x₂）++（x_n-x_n-1）
=
==（4分）
当n=1时上式也成立，∴（5分）
（Ⅱ）
∵T_2n=a₁+2a₂+3a₃++（2n-1）a_2n-1+2na_2n=①
∴②
①-②，得（8分）
∴（10分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得
当n=1时，2²ⁿ=4，（2n+1）²=9，∴9T_2n＜Q_n；（11分）
当n=2时，2²ⁿ=16，（2n+1）²=25，∴9T_2n＜Q_n；（12分）
当n≥3时，2²ⁿ=[（1+1）ⁿ]²=（C_n+C_n¹+C_n²++C_nⁿ）²＞（2n+1）²．∴9T_2n＞Q_n．
综上所述，当n=1，2时，9T_2n＜Qn；当n≥3时，9T_2n＞Qn．（14分）
点评：本题主要考查累加法求数列通项，错位相减法求和以及数列的比较渗透了不等式问题．