Question

11．已知数列{a_n}中，a_n=（n+1）•（$\frac{9}{10}$）ⁿ是否存在自然数m，使得对于一切n∈N^*，都有a_n≤a_m．若存在，求出m，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 作差a_n+1-a_n=$（\frac{9}{10}）^{n}$×$\frac{8-n}{10}$，对n分类讨论，即可得出．

解答 解：∵a_n+1-a_n=（n+2）$•（\frac{9}{10}）^{n+1}$-（n+1）•（$\frac{9}{10}$）ⁿ=$（\frac{9}{10}）^{n}$×$\frac{8-n}{10}$，
∴当n＜8时，a_n+1＞a_n；
当n=8时，a_n+1=a_n；
当n＞8时，a_n+1＜a_n．
综上可得：a₁＜a₂＜…＜a₈=a₉＞a₁₀＞…．
因此存在自然数m=8或9，使得对于一切n∈N^*，都有a_n≤a_m．

点评 本题考查了数列的单调性、分类讨论方法，考查了推理能力、计算能力，属于中档题．