题目内容

将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，tmin后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y=ae^nt，若5min后甲桶和乙桶的水量相等，又过了mmin后甲桶中的水只有 $数学公式$ 升，则m=________．

15
分析：由题意，函数y=f（t）=ae^nt满足f（5）= $\text{[math]}$ a，解出n= $\text{[math]}$ ln $\text{[math]}$ ．再根据f（m）= $\text{[math]}$ a，建立关于m的指数方程，由对数恒成立化简整理，即可解出m的值．
解答：根据题意，得
∵5min后甲桶和乙桶的水量相等，
∴函数y=f（t）=ae^nt，满足f（5）=ae⁵ⁿ= $\text{[math]}$ a
可得n= $\text{[math]}$ ln $\text{[math]}$
因此，当mmin后甲桶中的水只有 $\text{[math]}$ 升，即f（m）= $\text{[math]}$ a
∴a• $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ a，可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
即 $\text{[math]}$ ln $\text{[math]}$ •m= $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ln $\text{[math]}$ •m=3ln $\text{[math]}$ ，解之得m=15
故答案为：15
点评：本题给出实际应用问题，求经过几分钟后桶内的水量剩余八分之一．着重考查了指数函数的性质、指数恒等式化简指数方程和对数的运算性质等知识，属于中档题．