Question

将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，tmin后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y=ae^nt，若5min后甲桶和乙桶的水量相等，又过了mmin后甲桶中的水只有

a

8

升，则m=

10

．

Answer 1

分析：由题意，函数y=f（t）=ae^nt满足f（5）=

1

2

a，解出n=

1

5

ln

1

2

．再根据f（m）=

1

8

a，建立关于m的指数方程，由对数恒成立化简整理，即可解出m的值．

解答：解：根据题意，得
∵5min后甲桶和乙桶的水量相等，
∴函数y=f（t）=ae^nt，满足f（5）=ae⁵ⁿ=

1

2

a
可得n=

1

5

ln

1

2

因此，当kmin后甲桶中的水只有

a

8

升，即f（k）=

1

8

a
即

1

5

ln（

1

2

•k）=ln

1

8

，

1

5

ln（

1

2

•k）=3ln

1

2

，解之得k=15，
经过了k-5=10分钟，即m=10
故答案为：10

点评：本题给出实际应用问题，求经过几分钟后桶内的水量剩余八分之一．着重考查了指数函数的性质、指数恒等式化简指数方程和对数的运算性质等知识，属于中档题．