Question

已知函数f(x)=

1

ax+1

(a＞0，a≠1)，若[m]表示不超过m的最大整数，则函数g(x)=[f(x)-

1

2

]-[f(-x)-

1

2

]的值域是

 

．

Answer 1

分析：化简函数f(x)=

1

ax+1

(a＞0，a≠1)，对x的正、负、和0分类讨论，求出[f（x）-

1

2

]-[f（-x）-

1

2

]的值，从而得到所求．

解答：解：f(x)=

1

ax+1

(a＞0，a≠1)，
∴g(x)=[f(x)-

1

2

]-[f(-x)-

1

2

]=2[

1

1+ax

-

1

2

]
∵a^x＞0∴0＜

1

1+ax

＜1
当 0＜

1

1+ax

＜

1

2

时，[

1

1+ax

-

1

2

]=-1，[

1

2

-

1

1+ax

]=0，原式为-1
当

1

2

＜

1

1+ax

＜1时，[

1

1+ax

-

1

2

 ]=0，[ 

1

2

-

1

1+ax

]=-1，原式为-1
当

1

1+ax

=

1

2

时，时，.[

1

2

-

1

1+ax

]=0，[

1

2

-

1

1+ax

]=0，原式为0
故答案为：{-1，0}

点评：本题考查函数的值域，函数的单调性及其特点，考查学生分类讨论的思想，是中档题．