Question

已知函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋lnx.

(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；

(2)当a>0时，若f(x)在区间[1，e]上的最小值为－2，求a的取值范围．

 

Answer 1

（1）y＝－2 （2）[1，＋∞)

【解析】【解析】
(1)当a＝1时，f(x)＝x2－3x＋lnx，f′(x)＝2x－3＋.

因为f′(1)＝0，f(1)＝－2，

所以切线方程是y＝－2.

(2)函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋lnx的定义域是(0，＋∞)．

当a>0时，f′(x)＝2ax－(a＋2)＋＝ (x>0)．

令f′(x)＝0，即f′(x)＝＝＝0，

得x＝或x＝.

当0<≤1，即a≥1时，f(x)在[1，e]上单调递增，

所以f(x)在[1，e]上的最小值是f(1)＝－2；

当1<<e时，f(x)在[1，e]上的最小值f()<f(1)＝－2，不合题意；

当≥e时，f(x)在[1，e]上单调递减．

所以f(x)在[1，e]上的最小值f(e)<f(1)＝－2，不合题意．

综上a的取值范围为[1，＋∞)．