Question

12．如图，抛物线的方程为y²=2px（p＞0），F为该抛物线的焦点，A是该抛物线的准线与x轴的交点，M是抛物线上一点，且满足MA⊥MF．
（1）若p=2，求该抛物线的焦点坐标及准线方程；
（2）当p值变化时，△MAF的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由抛物线的焦点坐标公式和准线方程，即可得到；
（2）设出M的坐标和A，F的坐标，由两直线垂直的条件：斜率之积为-1和两点的斜率公式，解方程求得m，再由三角形的面积公式计算即可判断是否存在最小值．

解答 解：（1）当p=2时，抛物线y²=4x的焦点为F（1，0），准线方程为x=-1；
（2）设M（m，n），由题意可得A（-$\frac{p}{2}$，0），F（$\frac{p}{2}$，0），
由MA⊥MF，可得k_MF•k_MA=-1，
即$\frac{n}{m-\frac{p}{2}}$•$\frac{n}{m+\frac{p}{2}}$=-1，即有n²=$\frac{{p}^{2}}{4}$-m²，
又n²=2pm，即有2pm=$\frac{{p}^{2}}{4}$-m²，
解得m=（$\frac{\sqrt{5}}{2}$-1）p（负的舍去），
S_△MAF=$\frac{1}{2}$|AF|•|n|=$\frac{1}{2}$p$\sqrt{2pm}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{\sqrt{5}-2}$p²．
该函数在（0，+∞）上为增函数，则△MAF的面积不存在最小值．

点评 本题考查抛物线的方程和性质，考查两直线垂直的条件：斜率之积为-1，考查运算能力，属于中档题．