Question

如图，在平面直角坐标系中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k

（1）当直线PA平分线段MN时，求k的值；

（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；

（3）对任意k>0，求证：PA⊥PB

 

Answer 1

解：（1）由题设知，所以线段MN中点的坐标为，由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过坐标 原点，所以

（2）直线PA的方程

解得

于是直线AC的斜率为

（3）解法一：

将直线PA的方程代入

则

故直线AB的斜率为其方程为

解得.

于是直线PB的斜率

因此

解法二：

设.

设直线PB，AB的斜率分别为因为C在直线AB上，所以

从而

因此