Question

设函数f(x)=x-alnx+

b

x

在x=1处取得极值．
（Ⅰ）求a与b满足的关系式；
（Ⅱ）若a＞1，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若a＞3，函数g（x）=a²x²+3，若存在m₁，m2∈[

1

2

，2]，使得|f（m₁）-g（m₂）|＜9成立，求a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）求导函数可得f′（x）=1-

a

x

-

b

x2

，…（2分）
由f′（1）=0得b=1-a．                                      …（3分）
（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），…（4分）
由（Ⅰ）可得f′（x）=1-

a

x

-

b

x2

=

(x-1)[x-(a-1)]

x2

．
令f′（x）=0，则x₁=1，x₂=a-1．                            …（6分）
因为x=1是f（x）的极值点，所以x₁≠x₂，即a≠2．           …（7分）
所以当a＞2时，a-1＞1，

x	（0，1）	1	（1，a-1）	a-1	（a-1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗		↘		↗

所以单调递增区间为（0，1），（a-1，+∞），单调递减区间为（1，a-1）．  …（8分）
当1＜a＜2时，0＜a-1＜1，
所以单调递增区间为（0，a-1），（1，+∞），单调递减区间为（a-1，1）．  …（9分）
（Ⅲ）当a＞3时，f（x）在[

1

2

，1）上为增函数，在（1，2]为减函数，
所以f（x）的最大值为f（1）=2-a＜0．                          …（10分）
因为函数g（x）在[

1

2

，2]上是单调递增函数，所以g（x）的最小值为g（

1

2

）=

1

4

a²+3＞0．                   …（11分）
所以g（x）＞f（x）在[

1

2

，2]上恒成立．                            …（12分）
要使存在m₁，m₂∈[

1

2

，2]，使得|f（m₁）-g（m₂）|＜9成立，只需要g（

1

2

）-f（1）＜9，即

1

4

a²+3-（2-a）＜9，
所以-8＜a＜4． …（13分）
又因为a＞3，所以a的取值范围是（3，4）．                 …（14分）