Question

【题目】已知数列{an}满足an=3n﹣2，f（n）= + +…+ ，g（n）=f（n2）﹣f（n﹣1），n∈N* ．
（1）求证：g（2）＞ ；
（2）求证：当n≥3时，g（n）＞ ．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：g（2）=f（4）﹣f（1）

=1+ + + ﹣1= + + = ＞ ；

（2）当n≥3时，g（n）=f（n2）﹣f（n﹣1）

=1+ +…+ ﹣（1+ +…+ ）

= + +…+ ，

运用数学归纳法证明．

当n=3时，g（3）= + + +…+ ＞ 成立

（2）

证明：假设n=k时，g（k）＞ ，即有 + +…+ ＞ ，

则n=k+1时，g（k+1）= +…+

= + +…+ + +…+ ﹣

=g（k）+ +…+ ﹣ ，

可得 +…+ ﹣ ＞0，又g（k）＞ ，

即有n=k+1时，g（k+1）＞ ．

故当n≥3时，g（n）＞ ．

【解析】（1）g（2）=f（4）﹣f（1）=1+ + + ﹣1，即可得证；（2）求出g（n），运用数学归纳法及不等式的性质，即可得证．
【考点精析】通过灵活运用函数的值和不等式的证明，掌握函数值的求法：①配方法(二次或四次)；②“判别式法”；③反函数法；④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法；不等式证明的几种常用方法:常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等即可以解答此题．