Question

已知正三棱锥A-BCD中，底面边长BC为3，侧棱长AB为

6

，求此正三棱锥的体积及内切球的表面积．

Answer 1

分析：设底面正三角形BCD的中心为O，由三角形的知识可得棱锥的高和底面积，代入体积公式可得；设内切球的半径为R，则由等体积的方法可求半径，由球的表面积公式可得．

解答：解：设底面正三角形BCD的中心为O，可得OB=

2

3

×3×

3

2

=

3

，
故AO=

AC2-OC2

=

AB2-OB2

=

3

，
而正三角形BCD的面积S=

1

2

×3×3×

3

2

=

9 3

4

，
故此正三棱锥的体积V=

1

3

S×AO=

1

3

×

9 3

4

×

3

=

9

4

；
设内切球的半径为R，则由等体积的方法可得：

1

3

R（S_△ABC+S_△ACD+S_△ABD）=

1

3

R×3S△ABC=

9

4

，
代入数据可得：R•

1

2

×3×

( 6 )2-( 3 2 )2

=

9

4

，解之可得R=

15

5

，
故内切球的表面积S′=4πR²=

12π

5

点评：本题考查三棱锥的体积的求解，涉及内切球的半径的求解，等体积法是求解半径的关键，属中档题．