Question

已知正三棱锥A－BCD的底边长为a，E，F分别是AB，BC的中点，且AC⊥DE．

(1)求此正三棱锥的体积V；

(2)求二面角E－FD－B的正弦值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)由正三棱锥A－BCD知AC⊥BD ∵AC⊥DE，∴AC⊥平面ABD． ∴∠BAC＝∠DAC＝∠BAD＝ ∴AB＝AC＝AD＝． V＝×AB·AC·AD＝． (2)分别过A、E作平面BCD的垂线，垂足为、，由正三棱锥可知、是正△BCD边CD上的高的两个三等分点． 连结，，是△EDF在平面BCD内的射影． ∵EF∥AC，∴EF⊥平面ABD， ∠FED＝，EF＝＝，， ∴． 在中，DF＝， 设二面角E－FD－B大小为θ， 则cosθ＝，sinθ＝． ∴二面角E－FD－B的正弦值为．