题目内容
已知A，B，C为△ABC的三个内角，向量
=(
sin
，cos
)，且|
|=
．
（1）求tanA•tanB的值；
（2）求C的最大值，并判断此时△ABC的形状．
| a |
| ||
| 5 |
| A+B |
| 2 |
| A-B |
| 2 |
| a |
| 3 |
| 5 |
| 5 |
（1）求tanA•tanB的值；
（2）求C的最大值，并判断此时△ABC的形状．
（1）∵|
|=
，∴
sin2
+cos2
=
+
=
∴13cos（A+B）=5cos（A-B）∴4cosAcosB=9sinAsinB，
∵cosAcosB≠0∴tanAtanB=
（2）由tanAtanB=
＞0，
知tanA，tanB＞0，tanA+tanB≥2
=
tanC=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)=-
=-
(tanA+tanB)≤-
×2
=-
当且仅当tanA=tanB，即A=B时，tanC取得最大值-
，
所以C为钝角，△ABC一定是钝角三角形．
| a |
| 3 |
| 5 |
| 5 |
| 13 |
| 5 |
| A+B |
| 2 |
| A-B |
| 2 |
| 9 |
| 5 |
| 13 |
| 5 |
| 1-cos(A+B) |
| 2 |
| 1+cos(A-B) |
| 2 |
| 9 |
| 5 |
∴13cos（A+B）=5cos（A-B）∴4cosAcosB=9sinAsinB，
∵cosAcosB≠0∴tanAtanB=
| 4 |
| 9 |
（2）由tanAtanB=
| 4 |
| 9 |
知tanA，tanB＞0，tanA+tanB≥2
| tanAtanB |
| 4 |
| 3 |
| tanA+tanB |
| 1-tanAtanB |
| 9 |
| 5 |
| 9 |
| 5 |
| tanAtanB |
| 12 |
| 5 |
当且仅当tanA=tanB，即A=B时，tanC取得最大值-
| 12 |
| 5 |
所以C为钝角，△ABC一定是钝角三角形．
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