Question

（1）已知a，b，c为两两不相等的实数，求证：a²+b²+c²＞ab+bc+ca；
（2）设a，b，c∈（0，+∞），且a+b+c=1，求证(

1

a

-1)(

1

b

-1)(

1

c

-1)≥8．

Answer 1

分析：（1）利用分析法，从结果入手，再利用配方法，即可证得结论；
（2）利用“1”的代换，再利用基本不等式，即可得到结论．

解答：证明：（1）要证a²+b²+c²＞ab+bc+ca，只需证2（a²+b²+c²）＞2（ab+bc+ca）
即证（a+b）²+（b+c）²+（a+c）²＞0，
因为a，b，c是不全相等的实数，所以（a+b）²＞0，（b+c）²＞0，（a+c）²＞0，
所以（a+b）²+（b+c）²+（a+c）²＞0显然成立．
所以a²+b²+c²＞ab+bc+ca；
（2）∵a、b、c∈（0，+∞）且a+b+c=1，
∴(

1

a

-1)(

1

b

-1)(

1

c

-1)=

b+c

a

•

a+c

b

•

a+b

c

≥

2 bc

a

•

2 ac

b

•

2 ab

c

=8
当且仅当a=b=c=

1

3

时等号成立．

点评：本题考查不等式的证明，考查分析法、综合法的运用，考查基本不等式，正确运用分析法是解题的关键．