Question

【题目】已知函数， ．

（1）若，求函数的单调递减区间；

（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值；

（3）若，正实数， 满足，证明： ．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析．

【解析】试题分析：（1）由求出的值，再利用导数求出函数的单调递减区间；（2）分离出变量，令，只要，利用导数求出令的最大值即可；（3）由，即，令，则由，利用导数法求得，从而可得所以，解得即可．

试题解析：

（1）因为，所以，

此时， ，

，

由，得，又，所以，

所以的单调减区间为．

（2）由恒成立，得在上恒成立，

问题等价于在上恒成立，

令，只要，

因为，令，得．

设，因为，所以在上单调递减，

不妨设的根为，

当时， ；当时， ，

所以在上是增函数，在上是减函数，

所以 ，

因为， ，

所以，此时，即，

所以，即整数的最小值为2．

（3）当时， ，

由，即，

从而，

令，则由，得，

可知， 在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，

所以，因此成立．