Question

【题目】已知函数， （为常数）.

（1）若函数与函数在处有相同的切线，求实数的值；

（2）若，且，证明： ；

（3）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）

【解析】试题分析：（1）根据导数几何意义得，解得实数的值；（2）研究差函数，求导数，再求导函数零点，确定函数单调性，进而确定最小值为0，即证得结论（3）研究差函数，因为，所以恒成立，利用变量分离转化为，再根据导数求函数最大值，即得实数的取值范围.

试题解析：（1），则且.

所以函数在处的切线方程为： ，从而，即.

（2）由题意知：设函数，则.

设，从而对任意恒成立，

所以，即，

因此函数在上单调递减，即，

所以当时， 成立.

（3）设函数，

从而对任意，不等式恒成立.

又，当，即恒成立时，函数单调递减.

设，则，所以，即，符合题意；

当时， 恒成立，此时函数单调递增.

于是，不等式对任意恒成立，不符合题意；

当时，设，

则

当时， ，此时单调递增，

所以 ，

故当时，函数单调递增.

于是当时， 成立，不符合题意；

综上所述，实数的取值范围为： .