题目内容

设S_n是数列{a_n}（n∈N^*）的前n项和，已知a₁=4， $数学公式$ ，设 $数学公式$ ．
（Ⅰ）证明：数列{b_n}是等比数列，并求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）令 $数学公式$ ，求数列{c_n}的前n项和T_n．

证明：（Ⅰ）∵a_n+1=S_n+3ⁿ，
∴S_n+1-S_n=S_n+3ⁿ
即S_n+1=2S_n+3ⁿ，
∴S_n+1-3ⁿ⁺¹=2S_n+3ⁿ-3ⁿ⁺¹=2（S_n-3ⁿ）
∴b_n+1=2b_n…（4分）
又b₁=S₁-3=a₁-3=1，
∴{b_n}是首项为1，公比为2的等比数列，
故数列{b_n}的通项公式为b_n=2^n-1…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：c_n=2log₂b_n- $\text{[math]}$ +2=2n- $\text{[math]}$ …（8分）
设M=1+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ …①
则 $\text{[math]}$ M= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ …②
①-②得：
$\text{[math]}$ M=1+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =2- $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，
∴M=4- $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =4- $\text{[math]}$ ，
∴T_n=n（n+1）+ $\text{[math]}$ -4…（12分）
分析：（Ⅰ）由a_n+1=S_n+3ⁿ可得S_n+1-3ⁿ⁺¹=2S_n+3ⁿ-3ⁿ⁺¹=2（S_n-3ⁿ），从而得到b_n+1=2b_n，于是有：数列{b_n}是等比数列，可求得b₁=1，从而可求得数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：c_n=2log₂b_n- $\text{[math]}$ +2=2n- $\text{[math]}$ ，设M=1+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ …①则 $\text{[math]}$ M= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ …②，利用错位相减法即可求得数列{c_n}的前n项和T_n．
点评：本题考查数列的求和，考查等比数列的通项公式，突出考查了错位相减法，考查分析与转化的能力，属于中档题．