Question

（本题满分为12分）
在四棱锥中，底面，,,,,是的中点．

（I）证明：；
（II）证明：平面；
（III）求二面角的余弦值．

Answer 1

（I）关键证明面，（II）平面.（III）

试题分析：（I）证明：底面，.又面，
面，.                                                （3分）
（II）证明：,是等边三角形，，又是 的中点，，又由（1）可知，
面
又底面，，
又面
平面.                                                           （6分）
（III）解：由题可知两两垂直,
如图建立空间直角坐标系,

设，则
.
设面的一个法向量为
 
即 取则，即
（9分）
设面的一个法向量为
 
即 取则即

由图可知二面角的余弦值为．             （12分）
点评：在立体几何中，证明直线与直线垂直、直线与平面垂直常用到直线与平面垂直的判定定理。另外，假如几何体是规则的图形，还是建立空间直角坐标系，用向量去解决问题较方便。