Question

棱长为1的正四面体内切球的表面积为（　　）

• A．

  π

  6

• B．

  π

  4

• C．

  3

  2

  π
• D．

  π

  3

Answer 1

分析：设所求正四面体为S-ABCD，可得它的内切球的球心0在高线SH上，延长AH交BC于点D，则D为BC的中点，连结SD则内切球切SD于点E，连结AO．利用正三角形的性质及三角形相似，算出内切球的半径OH=

1

4

SH，结合题中数据可得内切球的半径r=

6

12

，利用球的表面积公式即可算出答案．

解答：解：设正四面体S-ABCD如图所示，
可得它的内切球的球心0必定在高线SH上
延长AH交BC于点D，则D为BC的中点，连结SD则内切球切SD于点E，连结AO
∵H是正三角形ABC的中心
∴AH：HD=2：1
∵Rt△0AH∽Rt△DSH
∴

OA

OH

=

DS

DH

=3，可得OA=30H=S0
因此，SH=4OH，可得内切球的半径OH=

1

4

SH
∵正四面体棱长为1
∴Rt△SHD中，SD=

3

2

，HD=

1

3

SD=

3

6

可得SH=

SD2-HD2

=

6

3

，得内切球的半径r=OH=

1

4

×

6

3

=

6

12

因此正四面体内切球的表面积为S=4πr²=

π

6

故选：A

点评：本题给出棱长等于1的正四面体，求它的内切球的表面积．着重考查了正三角形的性质、相似三角形、勾股定理和球的表面积公式等知识，属于中档题．