Question

【题目】已知函数，，图象与轴交于点（异于原点），在处的切线为，图象与轴交于点且在该点处的切线为，并且与平行.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）已知实数，求函数的最小值；

（Ⅲ）令，给定，对于两个大于1的正数，存在实数满足：，，并且使得不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（I）；（II）当时，，当时，，当时，；（III）.

【解析】

试题分析：（I）令，求得，求导代入可得斜率为.与轴交于点，求导代入可得斜率为.两条直线平行，故，；（II）化简函数可得.令,利用导数并对进行分类讨论，可求得函数的最小值；（III）先求得，利用导数可知在上单调递增，有，对分成类进行分类讨论，求得其取值范围是.

试题解析：

图象与轴异于原点的交点，

图象与轴的交点，

由题意可得，即，

∴，

（2）

=

令，在 时，，

∴在单调递增，

图象的对称轴，抛物线开口向上

①当即时，

②当即时，

③当即时，

综上：当时， ；当

；当时，…………8分

,

所以在区间上单调递增

∴时，

①当时，有，

，

得，同理，

∴ 由的单调性知 、

从而有，符合题设.

②当时，，

，

由的单调性知 ，

∴，与题设不符

③当时，同理可得，

得，与题设不符.

∴综合①、②、③得