Question

已知圆O1：x2+6x+y2-1=0，圆O2：x2-6x+y2-5=0，点P满足kPO1•kPO2=2
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）过点Q（1，2）能否做直线AB与P的轨迹交于A、B两点，并且使Q是AB的中点？如果存在，求出直线AB的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设P（x，y），据题意，得，O₁（-3，0），O₂（3，0）由题意知

y

x+3

•

y

x-3

=2，整理得出点P的轨迹方程．
（2）假设直线AB存在，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=2，y₁+y₂=4．点A、B在动点P的轨迹上，A、B两点的坐标满足双曲线的方程，代入方程后作差即可求出直线AB的斜率，然后得出AB的方程，最后将直线AB的方程与双曲线方程联立，看此方程组是否有解即可．

解答：解：（1）（5分）设P（x，y），据题意，得，O₁（-3，0），O₂（3，0）…（1分）
∵kPO1•kPO2=2，
∴

y

x+3

•

y

x-3

=2…（3分）
整理得  

x2

9

-

y2

18

=1（x≠±3）…（5分）（没有范围扣1分）
（2）（7分）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），若存在，则x₁+x₂=2，y₁+y₂=4…（1分）
∵点A、B在动点P的轨迹上，
∴

2 x 2 1 - y 2 1 =18 2 x 2 2 - y 2 2 =18

…（2分）
∴2(

x

2 2

-

x

2 1

)=

y

2 2

-

y

2 1

，
∴

y2-y1

x2-x1

=

2(x1+x2)

(y1+y2)

=1…（4分）
此时k_AB=1，
∴AB：y=x+1…（5分）

y=x+1 x2 9 - y2 18 =1

整理得x²-2x-19=0此时△＞0，
∴这样的直线存在，它的方程为y=x+1…（7分）（没有判断△，扣1分）

点评：本题是平面向量与圆锥曲线相综合的问题，主要考查平面向量基本运算、双曲线求法以及中点弦问题，考查解析几何“设而不求”的技巧．解析几何板块在历届高考中必有一个解答题，而且在以往高考试卷中多以压轴题形态出现；在近年的一些省市高考卷中，解析几何类题目是以中档题形态出现，在备战高考时应留意解析几何这一新动态．