Question

一动圆与⊙O₁:x²+y²+6x+5=0外切，同时与⊙O₂：x²+y²-6x-91=0内切.

（1）求动圆圆心P的轨迹C的方程，并说明轨迹C是什么曲线.

（2）已知点A（-6，0），O₂（3，0）.当点M在曲线C上运动时，求F(M)=3·?+2·+·的最大值和最小值，并指出取得最值时点M的坐标.

Answer 1

解：(1)设动圆的半径为R，且圆心为P(x,y).?

⊙O₁:x²+y²+6x+5=0与⊙O₂:x²+y²-6x-91=0的标准方程为⊙O₁:(x+3)²+y²=4,⊙O₂:(x-3)²+y²=

100.

∵动圆P与⊙O₁外切,?

∴｜O₁P｜=R+2.?

∵动圆P与⊙O₂内切,?

∴｜O₂P｜=｜10-R｜.?

当R＞10时,｜O₂P｜=R-10,此时｜O₁P｜-｜O₂P｜=12＞｜O₁O₂｜=6,故轨迹不存在；?

当R＜10时,｜O₂P｜=10-R，此时｜O₁P｜+｜O₂P｜=12.                                               ?

∴动点P到点O₁(-3，0)和O₂(3，0)的距离和是常数12，故点P的轨迹是焦点为O₁(-3，0)和O₂(3，0)，长轴长等于12的椭圆.                                                                  ?

∴2c=6,2a=12.?

∴c=3,a=6.从而b²=a²-c²=27.?

于是得动圆圆心P的轨迹C的方程为?

=1.                                                                                                           ?

(2)设M(x₀,y₀)，∵A(-6,0),O₂(3,0),则=(-6-x₀,-y₀), =(9,0),

=(x₀-3,y₀),?

∴·=9(6+x₀)+ ·=9(3-x₀), ·=(x₀-3)(6+x₀)+y₀².?

由f(M)=3·+2·+·=x₀²+y₀²+12x₀+198.                  ?

当M在曲线C上时，则y₀²=27(1-)=27-x₀²,??

f(M)=x₀²+y₀²+12x₀+198=x₀²+(27-x₀²)+12x₀+198?

=x₀²+12x₀+225=(x₀²+48x₀)+198?

=(x₀+24)²+81,?

∵x₀∈［-6,6］,?

∴当x₀=-6，即M(-6,0)时,f(M)取得最小值162；?

当x₀=6，即M(6,0)时，f(M)取得最大值306.