题目内容

点P、Q在曲线x2+y2=1（y≥0）上，O是xOy坐标系原点，P、Q在x轴上的射影是M、N，并且OQ平分∠PON，则(
OM
+
ON
)•(
OP
+
OQ
)的最小值是（　　）
分析：设Q（cosθ，sinθ），则P（cos2θ，sin2θ）．则M（-cos2θ，0），N（cosθ，0）．利用数量积运算可得(
OM
+
ON
)•(
OP
+
OQ
)，再利用二次函数的单调性和θ的范围即可得出．
解答：解：设Q（cosθ，sinθ），则P（cos2θ，sin2θ）．
则M（-cos2θ，0），N（cosθ，0）．
∴(
OM
+
ON
)•(
OP
+
OQ
)=（cosθ-cos2θ，0）•（cosθ+cos2θ，sinθ+sin2θ）
=cos2θ-cos22θ
=cos2θ-（2cos2θ-1）2
=-4cos4θ+5cos2θ-1
=-4(cos2θ-
5
8
)2+
9
16
，
∵y≥0，∴0≤θ≤π．
∴0≤cos2θ≤1．
∴当cos2θ=0时，则(
OM
+
ON
)•(
OP
+
OQ
)的最小值是-1．
故选A．
点评：熟练掌握数量积运算、二次函数的单调性和三角函数的单调性等是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
如果点P在平面区域
2x-y+2≥0
x-2y+1≤0
x+y-2≤0
上，点Q在曲线x2+（y+2）2=1上，那么|PQ|的最小值为
 
．
（2013•杨浦区一模）若函数f（x）=loga (3x-2)+1 （a＞0，a≠1）的图象过定点P，点Q在曲线x2-y-2=0上运动，则线段PQ中点M轨迹方程是
y=2x2-2x
y=2x2-2x
．
如果点P在平面区域
2x-y+2≥0
x+y-2≤0
2y-1≥0
内，点Q在曲线x2+y2-4x-4y+7=0上，则|PQ|的最小值为（　　）
点P、Q在曲线x2+y2=1（y≥0）上，O是xOy坐标系原点，P、Q在x轴上的射影是M、N，并且OQ平分∠PON，则的最小值是（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．2

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