已知抛物线C:.为抛物线上一点.为关于轴对称的点.为坐标原点.(1)若,求点的坐标,(2)若过满足(1)中的点作直线交抛物线于两点, 且斜率分别为.且.求证:直线过定点.并求出该定点坐标题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

已知抛物线C:，为抛物线上一点，为关于轴对称的点，为坐标原点.
（1）若,求点的坐标；
（2）若过满足（1）中的点作直线交抛物线于两点, 且斜率分别为，且，求证：直线过定点，并求出该定点坐标

（1）由题意得，
即………………………………4分
（2）设直线的方程为，
直线与抛物线联立得
且
由，即
整理得
即，
把韦达定理代入得
或（舍）…………………………………………………………10分
所以直线过定点……………………………………………………………12分

解析

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某公园内有一椭圆形景观水池，经测量知，椭圆长轴长为20米，短轴长为16米，现以椭圆长轴所在直线为轴，短轴所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示：

（1）为增加景观效果，拟在水池内选定两点安装水雾喷射口，要求椭圆上各点到这两点距离之和都相等，请指出水雾喷射口的位置（用坐标表示），并求椭圆的方程。
（2）为了增加水池的观赏性，拟划出一个以椭圆的长轴顶点A、短轴顶点B及椭圆上某点M构成的三角形区域进行夜景灯光布置，请确定点M的位置，使此三角形区域面积最大。