题目内容
(本小题满分16分)
在一个特定时段内,以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东
且与点A相距40
海里的位置B,经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东
+
(其中sin
=
,
)且与点A相距10
海里的位置C.
(1)求该船的行驶速度(单位:海里/时);
(I2)若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域,并说明理由.
解(1)如图,AB=40
,AC=10
,![]()
由于0<
<
,所以cos
=
……………………………2分
由余弦定理得BC=
……………………6分
所以船的行驶速度为
(海里/小时). ……………………………8分
(2)解法一 如图所示,以A为原点建立平面直角坐标系,设点B、C的坐标分别是
B(x1,y2), C(x1,y2),BC与x轴的交点为D.
由题设有,x1=y1= ![]()
AB=40, ……10分
x2=ACcos
.
……12分
所以过点B、C的直线l的斜率k=
,直线l的方程为y=2x-40.
又点E(0,-55)到直线l的距离d=
…………15分
所以船会进入警戒水域. ……………………………16 分
解法二 如图所示,设直线AE与BC的延长线相交于点Q.在△ABC中,
由余弦定理得,![]()
==
=
.…………10 分
从而![]()
![]()
在
中,由正弦定理得,
AQ=![]()
…………12分
由于AE=55>40=AQ,所以点Q位于点A和点E之间,且QE=AE-AQ=15.过点E作EP
BC于点P,则EP为点E到直线BC的距离.
在Rt
中,
PE=QE·sin![]()
=
………………………15 分
所以船会进入警戒水域. ………………………16 分