Question

如图2-3-36,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是∠DAB=60°,且边长为a的菱形.侧面PAD为正三角形,其所在的平面垂直于底面ABCD.

图2-3-36

(1)若G为AD边的中点,求证:BG⊥平面PAD;

(2)求证:AD⊥PB;

(3)若E为BC边的中点,能否在棱PC上找到一点F,使平面DEF⊥平面ABCD,并证明你的结论.

Answer 1

思路分析:对于第(1)问,要证直线与平面垂直,已知面PAD⊥平面ABCD,只要证明BG与交线AD垂直即可;对第(2)问,由于AD∥BC,故只要证BC⊥PB;第(3)问是开放性的问题,可以选取特殊点,如取PC的中点F来讨论.

(1)解:∵在菱形ABCD中,∠DAB=60°,G为AD的中点,

∴BG⊥AD.

又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,

∴BG⊥平面PAD.

(2)证明:连结PG.

∵△PAD为正三角形,G为AD的中点,

∴PG⊥AD.

由(1)知BG⊥AD,PG∩BG=G,PG平面PGB,BG平面PGB,

∴AD⊥平面PGB.

∵PB平面PGB,∴AD⊥PB.

(3)证明:当F为PC的中点时,满足平面DEF⊥平面ABCD.

取PC的中点F,连结DE、EF、DF,

则由平面几何知识,在△PBC中,FE∥PB.

在菱形ABCD中,GB∥DE.

而FE平面DEF,DE平面DEF,FE∩DE=E,

∴平面DEF∥平面PGB.

由(1),PG⊥平面ABCD,而PG平面PGB,

∴平面PGB⊥平面ABCD.

∴平面DEF⊥平面ABCD.